Determine a derivada das funções abaixo.
(l) f(x)=integral1-3 x^1 t^31+t^2 d t .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=integral1-3x^1t^31+t^2,dt
e pede f'(x). Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para limites dependentes de x) e a regra da cadeia.

Passo 2

Pela fórmula de derivada de integral com limite inferior variável,
ddxintegrala(x)^b(x)F(t),dt =Fl(b(x)r),b'(x)-Fl(a(x)r),a'(x)
Aqui b(x)=1 (logo b'(x)=0) e a(x)=1-3x (logo a'(x)=-3), e F(t)=t^31+t^2. Assim,
f'(x) =0 - Fl(1-3xr)cdot(-3) =3,Fl(1-3xr)

Resposta

f'(x)=3,(1-3x)^31+(1-3x)^2

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