Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
10)
sumk=1^infty cos (k pi)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^inftycos(kpi)
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas: para uma série convergir, é necessário que seu termo geral tenda a zero. Vamos usar esse teste e, se necessário, analisar as somas parciais.

Passo 2

Observe que
cos(kpi)=(-1)^k
Logo o termo geral da série é
ak = (-1)^k
Para qualquer série, um teste necessário de convergência é
limktoinftyak = 0
Aqui temos limktoinfty(-1)^k que não existe (nem tende a zero). Portanto falha o teste da divergência — a série não pode convergir.

Passo 3

Para reforçar, veja as somas parciais
S2n = sumk=1^2n(-1)^k = 0, S2n+1 = sumk=1^2n+1(-1)^k = -1
Como Sn oscila entre 0 e -1, não há limite quando ntoinfty. Logo a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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