Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
(11)
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Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergir, determinar sua soma. O método mais direto aqui é decompor o termo geral em frações parciais e usar o telescoping, que nos permite somar a série em forma fechada.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
Observamos que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Para todos
, isso implica o sistema
Daí . Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Escrevendo os primeiros e últimos termos:
Esse somatório é telescópico: quase todos os termos internos se cancelam, sobrando
Portanto
Passo 4
Para verificar a convergência, tomamos o limite quando
:
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e