Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
(11)
sumk=2^infty 1k^2-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=2^infty1k^2-1
e, se convergir, determinar sua soma. O método mais direto aqui é decompor o termo geral em frações parciais e usar o telescoping, que nos permite somar a série em forma fechada.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
Observamos que
Multiplicando ambos os lados por , obtemos
Para todos , isso implica o sistema
Daí . Logo

Passo 3

Definimos a soma parcial até n:
Sn = sumk=2^n1k^2-1 =12sumk=2^nl(1k-1-1k+1r)
Escrevendo os primeiros e últimos termos:
sumk=2^nl(1k-1-1k+1r) &=l(11-13r) +l(12-14r) +cdots +l(1n-1-1n+1r)
Esse somatório é telescópico: quase todos os termos internos se cancelam, sobrando
sumk=2^nl(1k-1-1k+1r) =1 + 12 - 1n - 1n+1
Portanto
Sn =12l(1 + tfrac12 - tfrac1n - tfrac1n+1r) =34 - 12l(1n+1n+1r)

Passo 4

Para verificar a convergência, tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftySn =34 - 12limntoinftyl(1n+1n+1r) =34
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é tfrac34.

Resposta

A série converge e
sumk=2^infty1k^2-1 = 34

Exercícios relacionados