Determine a derivada das funções abaixo.
(n) A(x)=x raiz1-x^22+integralx^1 raiz1-t^2 d t.

Passo 1

O enunciado define
A(x)=xraiz1-x^22+integralx^1raiz1-t^2,dt
e pede A'(x). Vamos usar a regra do produto e a regra de derivação de integral dependente do limite inferior (Teorema Fundamental do Cálculo).

Passo 2

Derivando a primeira parcela xraiz1-x^22 por regra do produto e cadeia:
ddxl(xraiz1-x^2r) =raiz1-x^2+xcdotddxl(raiz1-x^2r) =raiz1-x^2+xcdot-xraiz1-x^2 =(1-x^2)-x^2raiz1-x^2 =1-2x^2raiz1-x^2
Como havia fator 1/2, essa derivada fica
1-2x^22raiz1-x^2

Passo 3

Derivando a segunda parcela integralx^1raiz1-t^2,dt em relação a x
-raiz1-x^2
pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limite inferior variável.

Passo 4

Somando as partes:
A'(x) =1-2x^22raiz1-x^2-raiz1-x^2 =1-2x^22raiz1-x^2-2(1-x^2)2raiz1-x^2 =1-2x^2-2+2x^22raiz1-x^2 =-12raiz1-x^2

Resposta

A'(x)=-12raiz1-x^2

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