Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
(13)
(13)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso ela convirja, determinar sua soma.
Aqui vamos usar a técnica de frações parciais para obter uma soma telescópica e então tomar o limite dos somatórios parciais.
Aqui vamos usar a técnica de frações parciais para obter uma soma telescópica e então tomar o limite dos somatórios parciais.
Passo 2
Fazendo a decomposição em frações parciais, escrevemos
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando em cruz, vem
Igualando coeficientes de
e termo constante, obtemos
e
, o que dá
e
. Portanto
Passo 3
Escrevemos o somatório parcial até
:
Isso expande para
É fácil ver que ocorre cancelamento telescópico entre muitos termos; sobra
Passo 4
Chamando
, o somatório parcial fica
Como
quando
, concluímos que a série converge e
Como
vem
Resposta
A série converge e sua soma é
.