Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
(13)
sumk=4^infty 1k^2-9

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=4^infty1k^2-9
e, caso ela convirja, determinar sua soma.
Aqui vamos usar a técnica de frações parciais para obter uma soma telescópica e então tomar o limite dos somatórios parciais.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais, escrevemos
1k^2-9=1(k-3)(k+3)
Procuramos constantes A e B tais que
1(k-3)(k+3)=Ak-3+Bk+3
Multiplicando em cruz, vem
1 = A(k+3)+B(k-3)
Igualando coeficientes de k e termo constante, obtemos A+B=0 e 3A-3B=1, o que dá A=1/6 e B=-1/6. Portanto
1k^2-9=16l(1k-3-1k+3r)

Passo 3

Escrevemos o somatório parcial até N:
sumk=4^N1k^2-9 =16sumk=4^Nl(1k-3-1k+3r)
Isso expande para
16l[(tfrac11-tfrac17)+(tfrac12-tfrac18)+cdots+(tfrac1N-3-tfrac1N+3)r]
É fácil ver que ocorre cancelamento telescópico entre muitos termos; sobra
sumk=4^Nl(1k-3-1k+3r) =l(1+tfrac12+tfrac13+tfrac14+tfrac15+tfrac16r) -l(tfrac1N+1+tfrac1N+2+tfrac1N+3r)

Passo 4

Chamando H6=1+tfrac12+tfrac13+tfrac14+tfrac15+tfrac16, o somatório parcial fica
SN=sumk=4^N1k^2-9 =16l(H6-l(tfrac1N+1+tfrac1N+2+tfrac1N+3r)r)
Como tfrac1N+1+tfrac1N+2+tfrac1N+3to0 quando Ntoinfty, concluímos que a série converge e
sumk=4^infty1k^2-9 =H66
Como
H6 =1+tfrac12+tfrac13+tfrac14+tfrac15+tfrac16 =4920,
vem
sumk=4^infty1k^2-9 =49120

Resposta

A série converge e sua soma é 49120.

Exercícios relacionados