Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
14)
sumk=1^infty ln (kk+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^infty ln!gl(kk+1gr)
Isso envolve reconhecer um possível telescópio e verificar se a soma parcial tende a um valor finito.

Passo 2

Reescrevemos cada termo usando a propriedade de logaritmo de quociente:
ln!gl(kk+1gr)=ln(k)-ln(k+1)
Note que essa forma é típica de séries telescópicas.

Passo 3

Vamos calcular a soma parcial Sn de k=1 até n:
Sn=sumk=1^nl[ln(k)-ln(k+1)r]
Ao expandir, quase todos os termos se cancelam:
Sn=(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+cdots+(ln n-ln(n+1)) =ln1-ln(n+1)=-ln(n+1),
pois ln1=0.

Passo 4

Para verificar a convergência, analisamos o limite de Sn quando ntoinfty:
limntoinftySn=limntoinftyl[-ln(n+1)r]=-infty
Como a soma parcial tende a -infty, a série não converge para um valor finito.

Resposta

A série diverge (tende a -infty).

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