Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
15)
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k
e, caso ela convirja, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é a soma de séries geométricas.

Passo 2

Vamos separar a soma em duas séries distintas. Note que
2^k-2 = 2^k2^2 = 2^k4, 3^k+1 = 3cdot 3^k
Logo,
2^k-2+3^k+15^k = 14,2^k5^k ;+; 3,3^k5^k = 14l(25r)^k ;+; 3l(35r)^k
Portanto,
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k = 14sumk=1^inftyl(25r)^k +3sumk=1^inftyl(35r)^k

Passo 3

Cada soma é uma série geométrica da forma sumk=1^inftyr^k com r=tfrac25 e r=tfrac35. Como l|tfrac25r|<1 e l|tfrac35r|<1, ambas convergem.

Passo 4

A fórmula para uma série geométrica é
sumk=1^inftyr^k = r1-r
Aplicando em cada caso:
sumk=1^inftyl(25r)^k = tfrac251-tfrac25 = tfrac25tfrac35 = 23,
sumk=1^inftyl(35r)^k = tfrac351-tfrac35 = tfrac35tfrac25 = 32
Multiplicando pelos coeficientes:
14cdot23 = 16, 3cdot32 = 92

Passo 5

Somando as duas partes:
16 + 92 = 16 + 276 = 286 = 143

Resposta

A série converge e sua soma é 143.

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