Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
16)
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Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso haja convergência, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer séries geométricas e usar sua fórmula de soma.
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral para enxergar melhor a parte geométrica. Note que
logo
Portanto a série vira
que é precisamente uma série geométrica de primeiro termo
e razão
Passo 3
Para uma série geométrica
convergir, é necessário e suficiente que
. Aqui
e como
, temos
. Logo a série converge.
Passo 4
Quando
, a soma de
é
Substituindo
, obtemos
Resposta
A série converge e