Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
16)
sumk=0^infty 2^k / 23^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=0^infty2^k/23^k
e, caso haja convergência, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer séries geométricas e usar sua fórmula de soma.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral para enxergar melhor a parte geométrica. Note que
2^k/2 = (raiz2)^k,
logo
2^k/23^k = l(raiz23r)^k
Portanto a série vira
sumk=0^inftyl(raiz23r)^k,
que é precisamente uma série geométrica de primeiro termo a0=1 e razão
r = raiz23

Passo 3

Para uma série geométrica sumk=0^inftyr^k convergir, é necessário e suficiente que lvert rrvert<1. Aqui
r = raiz23,
e como raiz2approx1,414<3, temos lvert rrvert<1. Logo a série converge.

Passo 4

Quando lvert rrvert<1, a soma de sumk=0^inftyr^k é
sumk=0^inftyr^k=11-r
Substituindo r=raiz23, obtemos
sumk=0^inftyl(raiz23r)^k =11-raiz23 =13-raiz23 =33-raiz2

Resposta

A série converge e
sumk=0^infty2^k/23^k =33-raiz2

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