Para
inteiro, mostre que vale a seguinte fórmula de recorrência:
Sugestão: Defina
e use integração por partes com
.
Você deve chegar na seguinte relação:
Fazendo a mudança de variável
, o resultado é obtido.
Você deve chegar na seguinte relação:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para inteiro
, se definirmos
então vale a fórmula de redução
Para isso vamos usar manipulações algébricas na integral e, em seguida, integração por partes.
Passo 2
Escrevemos
Integramos termo a termo para obter
Passo 3
Focamos em
Para isso aplicamos integração por partes escolhendo
Então
pois
ddx(1+x^2)^-(n-1) = -(n-1),2x,(1+x^2)^-n .
Passo 4
Pela fórmula de partes,
Isto é,
Passo 5
Voltando à expressão do Passo 2,
Mas
logo
que é exatamente a fórmula de recorrência desejada.