Para n >= 2 inteiro, mostre que vale a seguinte fórmula de recorrência:
integral 1(1+x^2)^n d x=12 n-2 x(1+x^2)^n-1+2 n-32 n-2 integral 1(1+x^2)^n-1 d x
Sugestão: Defina In=integral 1(1+x^2)^n d x e use integração por partes com u=1(1+x^2)^n.
Você deve chegar na seguinte relação:
2 n In+1=x(1+x^2)^n+(2 n-1) In
Fazendo a mudança de variável n:=n+1, o resultado é obtido.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro n>=2, se definirmos
In = integral 1(1+x^2)^n,dx
então vale a fórmula de redução
In = 12n-2,x(1+x^2)^,n-1 ;+;2n-32n-2,In-1
Para isso vamos usar manipulações algébricas na integral e, em seguida, integração por partes.

Passo 2

Escrevemos
1(1+x^2)^n =1+x^2 - x^2(1+x^2)^n =1(1+x^2)^,n-1 ;-;x^2(1+x^2)^n
Integramos termo a termo para obter
In = underbraceintegral 1(1+x^2)^,n-1,dx=,In-1 ;-;integral x^2(1+x^2)^n,dx ;=;In-1;-;integral x^2(1+x^2)^n,dx

Passo 3

Focamos em
integral x^2(1+x^2)^n,dx
Para isso aplicamos integração por partes escolhendo
u = x, dv = x(1+x^2)^n,dx
Então
du = dx, v = integral x(1+x^2)^n,dx = -12(n-1),(1+x^2)^-(n-1),
pois ddx(1+x^2)^-(n-1) = -(n-1),2x,(1+x^2)^-n.

Passo 4

Pela fórmula de partes,
integral x^2(1+x^2)^n,dx = u,v ;-;integral v,du = xl(-12(n-1)(1+x^2)^,n-1r) ;-;integral l(-12(n-1)(1+x^2)^,n-1r),dx
Isto é,
integral x^2(1+x^2)^n,dx = -x2(n-1)(1+x^2)^,n-1 ;+;12(n-1)integral 1(1+x^2)^,n-1,dx =-x2(n-1)(1+x^2)^,n-1 ;+;12(n-1),In-1

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 2,
In = In-1 ;-;l[-x2(n-1)(1+x^2)^,n-1 ;+;12(n-1),In-1r] =x2(n-1)(1+x^2)^,n-1 ;+;l(1-12(n-1)r)In-1
Mas
1-12(n-1)=2(n-1)-12(n-1)=2n-32(n-1),
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In = 12n-2,x(1+x^2)^,n-1 ;+;2n-32n-2,In-1,
que é exatamente a fórmula de recorrência desejada.

Resposta

boxed integral 1(1+x^2)^n,dx =12n-2,x(1+x^2)^,n-1 +2n-32n-2,integral 1(1+x^2)^,n-1,dx

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