Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumk=1^infty2^k-2+3^k+15^k
O conteúdo aqui é séries geométricas e vamos usar a propriedade de linearidade da soma e a fórmula sumk=1^infty r^k = tfracr1-r para |r|<1.

Passo 2

Aplicamos a linearidade para separar em duas somas independentes:
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k = sumk=1^infty 2^k-25^k + sumk=1^infty 3^k+15^k

Passo 3

Reescrevemos cada termo na forma de potência com razão fixa:
2^k-25^k = 14l(25r)^k,
3^k+15^k = 3l(35r)^k
Como l|tfrac25r|<1 e l|tfrac35r|<1, ambas são séries geométricas convergentes.

Passo 4

Para a primeira série temos
sumk=1^infty 14l(25r)^k = 14;tfrac251-tfrac25 = 14;2/53/5 = 14;23 = 16
Para a segunda série:
sumk=1^infty 3l(35r)^k = 3;tfrac351-tfrac35 = 3;3/52/5 = 3;32 = 92

Passo 5

Somando os dois resultados:
16 + 92 = 1 + 276 = 286 = 143

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac143.

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