(O logaritmo como transformação e sua inversa, propriedades do logaritmo) Mostre que, sendo x neq 0,
log (x+i y)=12 log (x^2+y^2)+(theta0+2 k pi) i,
onde theta0 é uma das determinações de arctg(y / x). Se x=0, então y neq 0 e theta0 pode ser tomado igual a pm 2, conforme seja y>0 ou y<0, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para e , a definição multivalorada do logaritmo complexo
pode ser escrita como
onde é uma determinação de . Se , então e basta escolher (se ) ou (se ).

Passo 2

Calculemos primeiro o módulo de z. Por definição,
|z| = raizx^2 + y^2,,
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ln|z| = ln!l(raizx^2+y^2r) = tfrac12,lnl(x^2+y^2r)

Passo 3

Para determinar o argumento de , observamos que
onde é qualquer ângulo tal que e . Quando , podemos tomar
ajustando para que caia no quadrante certo de acordo com o sinal de e .

Passo 4

Como , substituímos os resultados dos passos anteriores:
o que prova a fórmula desejada para .

Passo 5

No caso especial
Além disso, o argumento de é
Isso equivale a escolher .]

Resposta

boxedlog(x+iy) = tfrac12lnl(x^2+y^2r) + il(theta0+2kpir),
com theta0=arctan(y/x) se xneq0, e theta0=pmtfracpi2 se x=0.

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