(O logaritmo como transformação e sua inversa, propriedades do logaritmo) Mostre que, sendo
,
onde
é uma das determinações de
. Se
, então
e
pode ser tomado igual a
, conforme seja
ou
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
e
, a definição multivalorada do logaritmo complexo
pode ser escrita como
onde
é uma determinação de
. Se
, então
e basta escolher
(se
) ou
(se
).
Passo 2
Calculemos primeiro o módulo de
. Por definição,
logo
Passo 3
Para determinar o argumento de
, observamos que
onde
é qualquer ângulo tal que
e
. Quando
, podemos tomar
ajustando para que
caia no quadrante certo de acordo com o sinal de
e
.
Passo 4
Como , substituímos os resultados dos passos anteriores:
o que prova a fórmula desejada para
.
Passo 5
No caso especial
Além disso, o argumento de
é
Isso equivale a escolher .]
Resposta
com
se
, e
se
.