Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=2^infty2^k+1+2cdot7^k9^k
e, se ela convergir, calcular a soma.
O conteúdo envolvido é identificação de séries geométricas e uso da fórmula da soma quando a razão tem módulo menor que 1.

Passo 2

Separamos a série em duas parcelas:
sumk=2^infty2^k+1+2cdot7^k9^k =sumk=2^infty2^k+19^k +sumk=2^infty2cdot7^k9^k
Em cada uma reconhecemos uma série geométrica.

Passo 3

Na primeira série a razão é
dfrac2^k+19^k=2l(tfrac29r)^k
e na segunda é
dfrac2cdot7^k9^k=2l(tfrac79r)^k.
Como l|tfrac29r|<1 e l|tfrac79r|<1, ambas convergem.

Passo 4

Calculamos a primeira soma geométrica:
sumk=2^infty2^k+19^k =2sumk=2^inftyl(29r)^k =2cdotl(tfrac29r)^21-tfrac29 =2cdottfrac481tfrac79 = 863

Passo 5

Calculamos a segunda soma geométrica:
sumk=2^infty2cdot7^k9^k =2sumk=2^inftyl(79r)^k =2cdotl(tfrac79r)^21-tfrac79 =2cdottfrac4981tfrac29 = 499

Passo 6

Somamos as duas parcelas:
863+499 =863+34363 =35163 =397

Resposta

A série converge e sua soma é
sumk=2^infty2^k+1+2cdot7^k9^k =397

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