Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso ela converja, determinar sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica, que usa o teste de convergência pelo módulo da razão e a fórmula da soma.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral como potência de uma razão
. Note que
Portanto a série é
Passo 3
Aplicamos o teste da série geométrica: ela converge se e somente se
. Aqui
e como
, temos
. Logo a série converge.
Passo 4
Para
, a soma da série geométrica é
Substituindo
obtemos
Passo 5
Opcionalmente, racionalizamos o denominador:
Resposta
A série converge por ser geométrica com razão
e