Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^infty 2^k / 23^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=0^infty 2^k/23^k
e, caso ela converja, determinar sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica, que usa o teste de convergência pelo módulo da razão e a fórmula da soma.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como potência de uma razão r. Note que
2^k/23^k = (raiz2)^k3^k = l(raiz23r)^k
Portanto a série é
sumk=0^infty l(raiz23r)^k

Passo 3

Aplicamos o teste da série geométrica: ela converge se e somente se lvert rrvert<1. Aqui
r = raiz23,
e como raiz2approx1,414<3, temos lvert rrvert<1. Logo a série converge.

Passo 4

Para lvert rrvert<1, a soma da série geométrica é
sumk=0^infty r^k = 11 - r
Substituindo r = tfracraiz23 obtemos
sumk=0^infty l(tfracraiz23r)^k = 11 - tfracraiz23 = 1tfrac3-raiz23 = 33 - raiz2

Passo 5

Opcionalmente, racionalizamos o denominador:
33 - raiz2 cdot 3 + raiz23 + raiz2 = 3(3 + raiz2)9 - 2 = 9 + 3raiz27

Resposta

A série converge por ser geométrica com razão tfracraiz23 e
sumk=0^infty2^k/23^k = 33 - raiz2 = 9 + 3raiz27

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