Exercício 1.8. Determine se as séries convergem ou divergem:
27+12(27)^2+13(27)^3+cdots+1n(27)^n+cdots

Passo 1

O enunciado pede pra gente decidir se a série
sumn=1^infty 1nl(27r)^n
converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar do teste da razão (pra testar convergência absoluta) e também de um resultado de série de potências (a expansão de -ln(1-x)).

Passo 2

Pra aplicar o teste da razão, considere o termo geral
an = 1nl(27r)^n
O teste da razão diz que se
L = limntoinfty l|an+1anr| < 1,
então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculemos
an+1an = 1n+1(2/7)^n+11n(2/7)^n = nn+1cdot 27
Tomando o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty nn+1cdot 27 = 1cdot 27 = 27 < 1
Como L<1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Além de sabermos que ela converge, podemos reconhecer a expansão de séries de potências
-ln(1 - x) = sumn=1^infty x^nn, para |x|<1
Basta colocar x = 2/7 para ver que a soma é
sumn=1^infty 1nl(27r)^n = -lnl(1 - tfrac27r) = -lnl(tfrac57r) = lnl(tfrac75r)

Passo 5

Concluindo, a série é convergente (absolutamente) e seu valor é ln(7/5).

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é ln(7/5).

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