1. Mostre que a reta normal à esfera x^2+y^2+z^2=r^2, no ponto P0 passa pela centro da esfera.

Passo 1

O enunciado nos dá a esfera
x^2+y^2+z^2=r^2
e pede para mostrar que a reta normal a essa superfície, no ponto P0=(x0,y0,z0), passa pelo centro da esfera. O conteúdo envolve superfícies de nível e vetores normais, para o qual vamos usar o gradiente de uma função definida por
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2,

Passo 2

Identificamos a esfera como o nível zero da função
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2,,
ou seja, a superfície é F(x,y,z)=0.

Passo 3

O vetor gradiente de F é dado por
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr) =(2x,,2y,,2z),
Em particular, no ponto P0=(x0,y0,z0) temos
nabla F(P0)=(2x0,,2y0,,2z0),

Passo 4

A reta normal à superfície F=0 em P0 segue a direção de nabla F(P0). Logo, sua equação paramétrica é
x(t)=x0+t,(2x0), y(t)=y0+t,(2y0), z(t)=z0+t,(2z0)

Passo 5

Para verificar que essa reta passa pelo centro da esfera C=(0,0,0), basta encontrar um t tal que
x(t)=0, y(t)=0, z(t)=0
Escolhendo t=-tfrac12 obtemos
x(-tfrac12)=x0-x0=0, y(-tfrac12)=y0-y0=0, z(-tfrac12)=z0-z0=0,
logo a reta atinge (0,0,0).

Resposta

A reta normal à esfera x^2+y^2+z^2=r^2 no ponto P0 tem equação
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t,(2x0,2y0,2z0)
e, para t=-tfrac12, passa pelo centro (0,0,0). Portanto, a reta normal em P0 realmente passa pelo centro da esfera.

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