Mostre que a reta normal à esfera , no ponto passa pela centro da esfera.
Passo 1
O enunciado nos dá a esfera
e pede para mostrar que a reta normal a essa superfície, no ponto , passa pelo centro da esfera. O conteúdo envolve superfícies de nível e vetores normais, para o qual vamos usar o gradiente de uma função definida por
Passo 2
Identificamos a esfera como o nível zero da função
ou seja, a superfície é .
Passo 3
O vetor gradiente de é dado por
Em particular, no ponto temos
Passo 4
A reta normal à superfície em segue a direção de . Logo, sua equação paramétrica é
Passo 5
Para verificar que essa reta passa pelo centro da esfera C=(0,0,0), basta encontrar um t tal que