Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
5) sumk=0^infty 2^2 k3^3 k

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar a convergência da série sumk=0^infty 2^2k3^3k e, caso ela converja, calcular a soma. O conteúdo principal aqui é séries geométricas, então vamos usar a fórmula de soma quando |r|<1.

Passo 2

Reconhecer que cada termo da série pode ser reescrito como 2^2k3^3k = (2^23^3)^k.

Passo 3

Calcular o quociente 2^23^3 = 427. Assim, o termo geral fica (427)^k.

Passo 4

Identificar na forma padrão de série geométrica sumk=0^infty a,r^k que a = 1 e r = 427.

Passo 5

Verificar a convergência: como |427| < 1, a série converge.

Passo 6

Usar a fórmula da soma de série geométrica convergente:
sumk=0^infty a,r^k = a1 - r

Passo 7

Substituir a = 1 e r = 427 na fórmula para obter:
11 - 427 = 12327 = 2723

Resposta

A série converge e sua soma é 2723.

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