(Funções trigonométricas e hiperbólicas ) Prove que

Passo 1

O enunciado pede para provar, para quaisquer x,yinR,
l|sinh xr|<= l|cosh(x+iy)r|<= cosh x
O conteúdo aqui são as funções hiperbólicas e a noção de módulo de número complexo. Vamos usar a fórmula de Euler para funções hiperbólicas em argumento complexo e, em seguida, trabalhar com o módulo ao quadrado.

Passo 2

Usando a definição de cosseno e seno hiperbólico em argumento complexo, temos
cosh(x+iy) =e^x+iy+e^-x-iy2 =cosh x,cos y + i,sinh x,sin y

Passo 3

Para calcular o módulo, usamos
l|cosh(x+iy)r|^2 =l(cosh x,cos yr)^2+l(sinh x,sin yr)^2 =cosh^2xcos^2y+sinh^2xsin^2y

Passo 4

Para a desigualdade inferior, querermos mostrar
l|cosh(x+iy)r|^2>= sinh^2x
Note que
cosh^2xcos^2y+sinh^2xsin^2y =sinh^2xcos^2y+l(cosh^2x-sinh^2xr)cos^2y+sinh^2xsin^2y
Mas cosh^2x-sinh^2x=1 e cos^2y>=0, logo
cosh^2xcos^2y>=sinh^2xcos^2y Longrightarrow cosh^2xcos^2y+sinh^2xsin^2y>=sinh^2x(cos^2y+sin^2y)=sinh^2x
Assim l|cosh(x+iy)r|>=|sinh x|.

Passo 5

Para a desigualdade superior, usamos sin^2y<=1 e cos^2y<=1:
l|cosh(x+iy)r|^2 =cosh^2xcos^2y+sinh^2xsin^2y <=cosh^2xcos^2y+cosh^2xsin^2y =cosh^2x(cos^2y+sin^2y) =cosh^2x
Logo l|cosh(x+iy)r|<=cosh x.

Resposta

l|sinh xr|<= l|cosh(x+iy)r|<= cosh x

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