Seja
contínua. Prove que
possui um ponto fixo, isto é, existe
tal que
. Dê exemplo de uma função contínua
sem ponto fixo.
47. Seja
contínua, tal que
. Prove que existe
tal que
.
47. Seja
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos duas afirmações a provar:
Temos duas afirmações a provar:
- Seja
contínua. Mostrar que existe tal que (ponto fixo). Em seguida, dar um exemplo de função contínua sem ponto fixo. - (Questão 47) Seja
contínua com . Mostrar que existe tal que
Para ambas as provas vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante, para função contínua, que se valores em extremos têm sinais opostos, existe ponto onde atinge zero.
Passo 2
Prova de existência de ponto fixo em
Defina
Defina
Como
é contínua e
também,
é contínua em
. Note que
pois
e
.
- Se
, então e é ponto fixo. - Se
, então e é ponto fixo. - Caso contrário,
e , e pelo Teorema do Valor Intermediário existe tal que
Passo 3
Exemplo de
sem ponto fixo
Considere
Considere
Então
é contínua e
, ou seja
de fato mapeia
em
. A equação
tem apenas soluções
ou
, que não pertencem ao domínio
. Logo não há ponto fixo em
.
Passo 4
Prova de existência de
com
Defina
Defina
Como
é contínua em
,
é contínua em
. Observe que
- Se
, então e satisfaz . - Se
, então e têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe tal que
Resposta
– Qualquer função contínua
tem ponto fixo.
– Exemplo em :
não tem ponto fixo.
– Se é contínua e
, então existe
com
.
– Exemplo em
– Se