Seja f:[0,1] longrightarrow[0,1] contínua. Prove que f possui um ponto fixo, isto é, existe x in[0,1] tal que f(x)=x. Dê exemplo de uma função contínua f:(0,1) longrightarrow(0,1) sem ponto fixo.
47. Seja f:[0,1] R contínua, tal que f(0)=f(1). Prove que existe x in[0, 12] tal que f(x)=f(x+12).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos duas afirmações a provar:
  1. Seja fcolon[0,1]to[0,1] contínua. Mostrar que existe xin[0,1] tal que f(x)=x (ponto fixo). Em seguida, dar um exemplo de função contínua fcolon(0,1)to(0,1) sem ponto fixo.
  2. (Questão 47) Seja fcolon[0,1]toR contínua com f(0)=f(1). Mostrar que existe xinl[0,tfrac12r] tal que
fl(xr)=fl(x+tfrac12r)
Para ambas as provas vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante, para função contínua, que se valores em extremos têm sinais opostos, existe ponto onde atinge zero.

Passo 2

Prova de existência de ponto fixo em [0,1]
Defina
g(x)=f(x)-x
Como f é contínua e xmapsto x também, g é contínua em [0,1]. Note que
g(0)=f(0)-0;>=0, g(1)=f(1)-1;<=0
pois f(0)in[0,1] e f(1)in[0,1].
  • Se g(0)=0, então f(0)=0 e 0 é ponto fixo.
  • Se g(1)=0, então f(1)=1 e 1 é ponto fixo.
  • Caso contrário, g(0)>0 e g(1)<0, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(0,1) tal que
g(c)=0 Longrightarrow f(c)=c

Passo 3

Exemplo de fcolon(0,1)to(0,1) sem ponto fixo
Considere
f(x)=x^2, xin(0,1)
Então f é contínua e 0<x<1implies 0<x^2<1, ou seja f de fato mapeia (0,1) em (0,1). A equação
f(x)=x Long<=ftrightarrow x^2=x
tem apenas soluções x=0 ou x=1, que não pertencem ao domínio (0,1). Logo não há ponto fixo em (0,1).

Passo 4

Prova de existência de xin[0,tfrac12] com f(x)=f(x+tfrac12)
Defina
h(x)=f(x)-fl(x+tfrac12r), xinl[0,tfrac12r]
Como f é contínua em [0,1], h é contínua em l[0,tfrac12r]. Observe que
h(0)=f(0)-fl(tfrac12r), hl(tfrac12r)=fl(tfrac12r)-f(1)=fl(tfrac12r)-f(0)=-h(0)
  • Se h(0)=0, então f(0)=f(tfrac12) e x=0 satisfaz f(x)=f(x+tfrac12).
  • Se h(0)neq0, então h(0) e h(tfrac12) têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe cinl(0,tfrac12r) tal que
h(c)=0 Longrightarrow f(c)=fl(c+tfrac12r)

Resposta

– Qualquer função contínua fcolon[0,1]to[0,1] tem ponto fixo.
– Exemplo em (0,1): f(x)=x^2 não tem ponto fixo.
– Se fcolon[0,1]toR é contínua e f(0)=f(1), então existe xinl[0,tfrac12r] com f(x)=f(x+tfrac12).

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