(O Logaritmo) Defina os ramos do logaritmo a partir de um corte ao longo do semieixo real negativo -pi <= theta<pi e identifique as imagens do plano z pelos vários ramos obtidos.

Passo 1

O enunciado nos pede para construir os ramos da função logaritmo complexo usando um corte ao longo do semieixo real negativo, isto é, excluindo todos os z<= 0. O conteúdo aqui é análise complexa, ramo de função multivalorada e argumento principal. Vamos usar a forma polar
z = r e^itheta, r>0,;-,pi<=theta<pi
e definir, para cada ramo, uma determinada faixa do argumento.

Passo 2

Definimos o argumento principal como o valor de em
Então o ramo principal do logaritmo, que chamaremos de , é
com domínio .

Passo 3

Para obter os outros ramos, somamos múltiplos inteiros de ao argumento principal. Definimos, para cada , o ramo
Cada é holomorfa em e exaure todos os valores de argumento na faixa

Passo 4

Em termos da imagem de cada ramo, escrevemos
onde varia em livremente e
está restrito a
Logo a imagem de por é o “faixa horizontal”

Resposta

Para , o -ésimo ramo do logaritmo é
com . A imagem de por é o conjunto

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