(O Logaritmo) Defina os ramos do logaritmo a partir de um corte ao longo do semieixo real negativo
e identifique as imagens do plano
pelos vários ramos obtidos.
Passo 1
O enunciado nos pede para construir os ramos da função logaritmo complexo usando um corte ao longo do semieixo real negativo, isto é, excluindo todos os
. O conteúdo aqui é análise complexa, ramo de função multivalorada e argumento principal. Vamos usar a forma polar
e definir, para cada ramo, uma determinada faixa do argumento.
Passo 2
Definimos o argumento principal como o valor de
em
Então o ramo principal do logaritmo, que chamaremos de , é
com domínio
.
Passo 3
Para obter os outros ramos, somamos múltiplos inteiros de
ao argumento principal. Definimos, para cada
, o ramo
Cada é holomorfa em
e exaure todos os valores de argumento na faixa
Passo 4
Em termos da imagem de cada ramo, escrevemos
onde
varia em
livremente e
está restrito a
Logo a imagem de
por é o “faixa horizontal”
Resposta
Para
, o
-ésimo ramo do logaritmo é
com . A imagem de
por é o conjunto