1. Dê exemplo de funções f e g tais que lim x +infty f(x)=+infty, lim x +infty g(x)=+infty e lim x +infty f(x)g(x) neq 1.
Why Seja f(x)=a x^3+b x^2+c x+d, onde a>0, b, c, d são reais dados. Prove que existem números reais x1 e x2 tais que f(x1)<0 e f(x2)>0.

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
  1. Pedem um exemplo de funções f e g tais que
    limxto+inftyf(x)=+infty,
    limxto+inftyg(x)=+infty
    e
    limxto+inftyf(x)g(x)neq1.
  2. Dado o polinômio
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d, a>0,
provar que existem x1,x2inR tais que f(x1)<0 e f(x2)>0.
Conteúdos usados: comportamento assintótico de polinômios e continuidade (para garantir valores de sinal oposto).

Passo 2

Uma escolha simples é
f(x)=x^2, g(x)=x
Como polinômios de grau positivo, temos
limxto+inftyx^2=+infty e limxto+inftyx=+infty.
Além disso,
limxto+inftyf(x)g(x) =limxto+inftyx^2x =limxto+inftyx =+inftyneq1

Passo 3

Considere f(x)=a x^3+b x^2+c x+d com a>0.
Para xto+infty, o termo dominante a x^3 faz f(x)to+infty.
Para xto-infty, como x^3to-infty e a>0, segue f(x)to-infty.
Logo, existe X>0 suficientemente grande com f(X)>0 e existe Y<0 suficientemente negativo com f(Y)<0.
Basta então definir
x1=Y, x2=X,
de modo que f(x1)<0 e f(x2)>0.

Resposta

Um exemplo é
f(x)=x^2 e g(x)=x, pois
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyg(x)=+infty e
limxto+inftyf(x)/g(x)=+inftyneq1.
E, para
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d com a>0, basta escolher
x1<0 com lvert x1rvert grande (para f(x1)<0) e
x2>0 grande (para f(x2)>0).

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