- Dê exemplo de funções
e
tais que
.
Why Seja
, onde
são reais dados. Prove que existem números reais
e
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
- Pedem um exemplo de funções
e tais que
,
e
. - Dado o polinômio
provar que existem
tais que
e
.
Conteúdos usados: comportamento assintótico de polinômios e continuidade (para garantir valores de sinal oposto).
Conteúdos usados: comportamento assintótico de polinômios e continuidade (para garantir valores de sinal oposto).
Passo 2
Uma escolha simples é
Como polinômios de grau positivo, temos
e
.
Além disso,
Além disso,
Passo 3
Considere
com
.
Para , o termo dominante
faz
.
Para , como
e
, segue
.
Logo, existe suficientemente grande com
e existe
suficientemente negativo com
.
Basta então definir
Para
Para
Logo, existe
Basta então definir
de modo que
e
.
Resposta
Um exemplo é
e
, pois
e
.
E, para
com
, basta escolher
com
grande (para
) e
grande (para
).