Determine a convergência da série
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou não. Aqui, estamos lidando com o estudo da convergência de séries infinitas, mais especificamente séries de termos gerais que envolvem exponenciais e funções lineares. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o Teste da Comparação e o Teste da Série Geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série
quando
se torna muito grande. Observamos que
cresce exponencialmente, muito mais rápido que
, que cresce de forma linear. Portanto, para valores grandes de
,
domina sobre
, e podemos aproximar
. Assim,
aproximadamente se comporta como
.
Passo 3
Sabemos que a série
é uma série geométrica com razão
, que é menor que 1. Segundo o Teste da Série Geométrica, uma série geométrica converge se
. Portanto, nossa série comparada
converge.
Passo 4
Agora, aplicando o Teste da Comparação, comparamos os termos da série original
com os termos da série geométrica
. Para todo
, temos que
, o que implica que
. No entanto, para aplicar o Teste da Comparação de forma eficaz, precisamos que os termos da série original sejam menores ou iguais aos termos de uma série convergente. Nossa comparação direta não satisfaz essa condição, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos refinar nossa comparação observando que, para
,
(porque
). Assim, temos
. Agora, podemos comparar
com
, que também é uma série geométrica convergente.
Passo 6
Como a série
converge, e sabemos que
para todo
, pela comparação direta, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.