Determine a convergência da série sumn=0^infty 12^n-n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=0^infty 12^n-n converge ou não. Aqui, estamos lidando com o estudo da convergência de séries infinitas, mais especificamente séries de termos gerais que envolvem exponenciais e funções lineares. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o Teste da Comparação e o Teste da Série Geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série 12^n-n quando n se torna muito grande. Observamos que 2^n cresce exponencialmente, muito mais rápido que n, que cresce de forma linear. Portanto, para valores grandes de n, 2^n domina sobre n, e podemos aproximar 2^n - n approx 2^n. Assim, 12^n-n aproximadamente se comporta como 12^n.

Passo 3

Sabemos que a série sumn=0^infty 12^n é uma série geométrica com razão r = 12, que é menor que 1. Segundo o Teste da Série Geométrica, uma série geométrica converge se |r| < 1. Portanto, nossa série comparada sumn=0^infty 12^n converge.

Passo 4

Agora, aplicando o Teste da Comparação, comparamos os termos da série original 12^n-n com os termos da série geométrica 12^n. Para todo n >= 1, temos que 2^n-n < 2^n, o que implica que 12^n-n > 12^n. No entanto, para aplicar o Teste da Comparação de forma eficaz, precisamos que os termos da série original sejam menores ou iguais aos termos de uma série convergente. Nossa comparação direta não satisfaz essa condição, então precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos refinar nossa comparação observando que, para n >= 1, 2^n-n > 2^n-1 (porque 2^n - n > 2^n - 2^n-1 = 2^n-1). Assim, temos 12^n-n < 12^n-1 = 2 cdot 12^n. Agora, podemos comparar 12^n-n com 2 cdot 12^n, que também é uma série geométrica convergente.

Passo 6

Como a série sumn=0^infty 2 cdot 12^n = 2 sumn=0^infty 12^n converge, e sabemos que 12^n-n < 2 cdot 12^n para todo n >= 1, pela comparação direta, a série original sumn=0^infty 12^n-n também converge.

Resposta

A série sumn=0^infty 12^n-n converge.

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