Determine a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+1) \operatorname{Ln}(n+1)}

Passo 1

O enunciado pede decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}.
Trata-se de uma série de termos positivos e vamos usar o teste da integral, que compara a série à integral imprópria correspondente.

Passo 2

Mudando índice para m = n+1, a série fica
\sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m\ln m}.
Definimos
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\quad x\ge2.
Observa-se que f(x)>0 e
f'(x)=-\frac{\ln x + 1}{x^2(\ln x)^2}<0
para x>1, logo f é decrescente em [2,\infty). Assim, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

O teste da integral diz que a convergência de
\sum_{m=2}^{\infty} f(m)
é equivalente à convergência da integral imprópria
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x}.

Passo 4

Fazendo a substituição u=\ln x, du=\frac{dx}{x}, obtemos
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u},
e essa integral diverge porque \displaystyle\int_{A}^{\infty}\frac{du}{u}=\bigl[\ln u\bigr]_{A}^{\infty}=+\infty.

Resposta

A série diverge; ou seja, não é convergente.

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