IV. Suponhamos temos uma série de termo geral
de modo que
para todo
. Demonstre que a série
converge se, e somente se a série
também converge.
Passo 1
O enunciado considera uma sequência
tal que
e pede para mostrar que
O conteúdo envolvido é o teste da condensação de Cauchy, que compara somas em blocos de tamanho
.
Passo 2
Agrupamos os termos da soma
em blocos de índices que vão de
até
. Definimos para
Então, para todo
,
Passo 3
Como a sequência é não-increasing, em cada bloco
vale
e há exatamente
termos nesse bloco. Logo,
Somando de
até
, obtemos
Se
converge, o lado direito tem limite finito, logo
converge por comparação.
Passo 4
Para a recíproca, note que em cada bloco
também vale
novamente com
termos. Daí
Somando de
até
,
Se
converge, o lado esquerdo é limitado, então
converge, e assim
converge.
Resposta
Concluímos que, sob
, a série
converge se, e somente se, a série condensada
também converge.