IV. Suponhamos temos uma série de termo geral a_{n} de modo que a_{n} \geq a_{n+1} para todo n \in \mathbb{N}^{+}. Demonstre que a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge se, e somente se a série \sum_{n=1}^{+\infty} 2^{n} \cdot a_{2^{n}} também converge.

Passo 1

O enunciado considera uma sequência (a_{n})_{n\ge1} tal que
a_{n}\ge a_{n+1}\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}^+
e pede para mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\,a_{2^{n}}.
O conteúdo envolvido é o teste da condensação de Cauchy, que compara somas em blocos de tamanho 2^{k}.

Passo 2

Agrupamos os termos da soma \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} em blocos de índices que vão de 2^{k} até 2^{k+1}-1. Definimos para k\ge0
S_{k}=\sum_{n=2^{k}}^{2^{k+1}-1}a_{n}.
Então, para todo N\ge1,
\sum_{n=1}^{2^{N+1}-1}a_{n} = a_{1}+\sum_{k=0}^{N}S_{k}.

Passo 3

Como a sequência é não-increasing, em cada bloco n\in[2^{k},2^{k+1}-1] vale
a_{n}\le a_{2^{k}},
e há exatamente 2^{k} termos nesse bloco. Logo,
S_{k} =\sum_{n=2^{k}}^{2^{k+1}-1}a_{n} \le 2^{k}\,a_{2^{k}}.
Somando de k=0 até N, obtemos
\sum_{n=1}^{2^{N+1}-1}a_{n} \le a_{1}+\sum_{k=0}^{N}2^{k}\,a_{2^{k}}.
Se \sum_{k=0}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}} converge, o lado direito tem limite finito, logo \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge por comparação.

Passo 4

Para a recíproca, note que em cada bloco n\in[2^{k},2^{k+1}-1] também vale
a_{n}\ge a_{2^{k+1}-1}\ge a_{2^{k+1}},
novamente com 2^{k} termos. Daí
S_{k} \ge 2^{k}\,a_{2^{k+1}}.
Somando de k=0 até N-1,
\sum_{n=1}^{2^{N}-1}a_{n} \ge \sum_{k=0}^{N-1}2^{k}\,a_{2^{k+1}} = \sum_{j=1}^{N}2^{\,j-1}a_{2^{j}} =\tfrac12\sum_{j=1}^{N}2^{j}a_{2^{j}}.
Se \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge, o lado esquerdo é limitado, então
\tfrac12\sum_{j=1}^{\infty}2^{j}a_{2^{j}} converge, e assim \sum2^{j}a_{2^{j}} converge.

Resposta

Concluímos que, sob a_{n}\ge a_{n+1}\ge0, a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge se, e somente se, a série condensada \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\,a_{2^{n}} também converge.

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