VI. Demonstre que se
ê uma sequência com
para todo
, entāo a série
é convergente se, e somente se a sequéncia de somas parciais
limitada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma sequência
com
para todo
, a série
é convergente se, e somente se, a sequência de somas parciais
, onde
é limitada. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Convergência Monótona: toda sequência monótona e limitada converge, e sequência convergente é necessariamente limitada.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é monótona crescente. De fato, para todo
:
Logo
, ou seja,
é crescente.
Passo 3
Suponha que a série
seja convergente. Por definição, isto significa que
existe e é finito. Como toda sequência convergente é limitada, segue que
é limitada acima (e também limitada em geral).
Passo 4
Agora suponha que
seja limitada. Já vimos que
é monótona crescente e, se é limitada superiormente, o Teorema da Convergência Monótona garante que
existe e é finito. Mas isso equivale a dizer que a série
converge (pois sua soma parcial tende a
).
Resposta
Concluímos que, para
, a série
converge se, e somente se, a sequência de somas parciais
é limitada.