VI. Demonstre que se \left\{a_{n}\right\}_{\in \mathbb{N}^{+}}ê uma sequência com a_{n} \geq 0 para todo n \in \mathbb{N}^{+}, entāo a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é convergente se, e somente se a sequéncia de somas parciais \left\{s_{n}\right\}_{\in \mathbb{N}+} \hat{e} limitada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma sequência \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}^+} com a_n\ge 0 para todo n, a série
\sum_{n=1}^{+\infty} a_n
é convergente se, e somente se, a sequência de somas parciais
\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}, onde
s_n = \sum_{k=1}^n a_k,
é limitada. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Convergência Monótona: toda sequência monótona e limitada converge, e sequência convergente é necessariamente limitada.

Passo 2

Mostramos primeiro que \{s_n\} é monótona crescente. De fato, para todo n\ge1:
s_{n+1} - s_n = \Bigl(\sum_{k=1}^{n+1}a_k\Bigr) - \Bigl(\sum_{k=1}^n a_k\Bigr) = a_{n+1}\ge0.
Logo s_{n+1}\ge s_n, ou seja, \{s_n\} é crescente.

Passo 3

Suponha que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n seja convergente. Por definição, isto significa que
\lim_{n\to\infty}s_n = S
existe e é finito. Como toda sequência convergente é limitada, segue que \{s_n\} é limitada acima (e também limitada em geral).

Passo 4

Agora suponha que \{s_n\} seja limitada. Já vimos que \{s_n\} é monótona crescente e, se é limitada superiormente, o Teorema da Convergência Monótona garante que
\lim_{n\to\infty} s_n = L
existe e é finito. Mas isso equivale a dizer que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge (pois sua soma parcial tende a L).

Resposta

Concluímos que, para a_n\ge0, a série \sum_{n=1}^\infty a_n converge se, e somente se, a sequência de somas parciais \{s_n\} é limitada.

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