Determine a coordenada x de um ponto P=(x, y) no plano com coordenadas y=-4 tal que o ponto P seja equidistante dos pontos (2,1) e (5,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a abscissa x de um ponto P=(x,y) com y=-4 que seja equidistante dos pontos A=(2,1) e B=(5,2). Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e impor a igualdade dessas distâncias.

Passo 2

A condição de equidistância é
dl(P,Ar)=dl(P,Br)
Pela fórmula da distância, isso vira
raiz(x-2)^2+(-4-1)^2 ;=;raiz(x-5)^2+(-4-2)^2

Passo 3

Para simplificar, elevamos ambos os lados ao quadrado e obtemos
(x-2)^2+(-4-1)^2 ;=;(x-5)^2+(-4-2)^2
Calculando os termos fixos:
(x-2)^2+25 ;=;(x-5)^2+36

Passo 4

Expandindo e simplificando:
(x^2-4x+4)+25 = (x^2-10x+25)+36
x^2-4x+29 = x^2-10x+61
Cancelando x^2 e isolando x:
-4x+29 = -10x+61 Longrightarrow 6x = 32 Longrightarrow x = 163

Resposta

x = 163

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