Determine todos os pontos da forma (x, 2 x) os quais estão a uma distância 4 unidades do ponto (2,4)

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos da forma (x,2x) que estão a uma distância de 4 unidades do ponto (2,4). Para resolver isso vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e depois resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Seja (x,2x) o ponto genérico. A distância até (2,4) é dada por
raiz(x-2)^2 + (2x-4)^2 = 4
Elevando ao quadrado, obtemos
(x-2)^2 + (2x-4)^2 = 16

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos a soma:
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4, (2x-4)^2 = 4(x-2)^2 = 4x^2 - 16x + 16
Somando,
x^2 - 4x + 4 + 4x^2 - 16x + 16 = 5x^2 - 20x + 20 = 16
Passando 16 para o lado esquerdo,
5x^2 - 20x + 4 = 0
Esta é uma equação quadrática padrão.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = 20 pm raiz(-20)^2 - 4cdot5cdot42cdot5 = 20 pm raiz400 - 8010 = 20 pm 8raiz510 = 2 pm 4raiz55
Como y = 2x, temos
y = 2l(2 pm tfrac4raiz55r) = 4 pm 8raiz55

Resposta

Os pontos são
l(2 + tfrac4raiz55,,4 + tfrac8raiz55r) e l(2 - tfrac4raiz55,,4 - tfrac8raiz55r)

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