sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =sumi=1^n[(3(i-1)n)^2+1] cdot 3n=sumi=1^n(9(i-1)^2n^2+1) cdot 3n & =sumi=1^n(27(i-1)^2n^3+3n)=27n^3 cdot sumi=1^n(i-1)^2+sumi=1^n 3n & =27n^3 cdot(sumi=1^n i^2-2 cdot sumi=1^n i+sumi=1^n 1)+3n cdot sumi=1^n 1
Substituindo sumi=0^n 1=n, sumi=0^n i=n(n+1)2 e sumi=0^n i^2=n(n+1)(2 n+1)6, segue que a igualdade acima fica
sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =27n^3(n(n+1)(2 n+1)6-2 n(n+1)2+n)+3n cdot n & =9+272 n+276 n^2-27n+3
Logo, o limite dessas somas, quando n +infty, é dado por
lim n +infty sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =lim n +infty(9+272 n+276 n^2-27n+3) & =lim n +infty 9+lim n +infty 272 n+lim n +infty 276 n^2-lim n +infty 27n+lim n +infty 3 & =9+3 & =12
isto é, a área sob a curva f no intervalo 0,3 é 12 u.a.
4.4 Calcule as seguintes integrais:
integral1^2(1x-e^-x) d x=[ln x+e^-x]1^2=(ln 2+e^-2)-(ln 1+e^-1)=ln 2+e^-2-e^-1
Solução: Temos que

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2l(1x-e^-xr),dx
O conteúdo envolve achar primitivas de funções básicas (logaritmo e exponencial) e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para f(x)=tfrac1x, uma primitiva é F(x)=ln x. Para g(x)=e^-x, lembramos que
ddxl(e^-xr)=-e^-x,
ou seja, uma primitiva de -e^-x é +e^-x. Assim, uma primitiva de tfrac1x-e^-x é
F(x)=ln x+e^-x

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando F(x) de 1 a 2:
integral1^2l(tfrac1x-e^-xr),dx=l[ln x+e^-xr]1^2=l(ln 2+e^-2r)-l(ln 1+e^-1r)

Passo 4

Sabendo que ln 1=0, simplificamos o resultado:
l(ln 2+e^-2r)-l(0+e^-1r)=ln 2+e^-2-e^-1

Resposta

ln 2+e^-2-e^-1

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