Usando a definição de limites, prove que:

Passo 1

Temos a sequência an = tanl(2npi1+8nr) e queremos provar que anto1 usando a definição clássica de limite de sequência: para todo varepsilon>0 existe N tal que, para n>= N, |an-1|. Vamos mostrar que primeiro o ângulo xn=2npi1+8n converge a pi/4 e depois controlar a diferença |tan xn-1|.

Passo 2

Definimos xn=2npi1+8n. Calculamos a diferença em relação a pi/4:
xn-pi4=2npi1+8n-pi4=8npi-(1+8n)pi4(1+8n)=-pi4(1+8n)

Passo 3

Logo,
l|xn-tfracpi4r|=pi4(1+8n)<=pi32n(n>=1)

Passo 4

Note que para todo n>=1 temos xnin[tfracpi8,tfracpi4]. No intervalo [tfracpi8,tfracpi4] o derivado de tan x satisfaz
ddxtan x=sec^2x<=sec^2l(tfracpi4r)=2

Passo 5

Pelo teorema do valor médio, para n>=1 vale
l|tan xn-tan(tfracpi4)r|<=2,l|xn-tfracpi4r|<=2cdotpi32n=pi16n

Passo 6

Agora seja varepsilon>0. Basta escolher
N=maxl1,,llceiltfracpi16varepsilonrrceilr

Passo 7

para que, se n>= N, então
|an-1|=|tan xn-1|=|tan xn-tan(tfracpi4)|<=pi16n<=pi16N

Passo 8

Isso mostra, pela definição de limite de sequência, que anto1.

Resposta

1

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