Verifique se as seguintes transformações T: R^2 longrightarrow R^3 são lineares.
T(x, y)=(0,2 x, 3 y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (0,2x,3y)
é linear. O conteúdo aqui é transformação linear, e vamos usar a definição: T é linear se e somente se para todos u,vinR^2 e todo escalar alphainR valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. T(alpha u)=alpha,T(u).

Passo 2

Para checar a preservação da soma, sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2) vetores quaisquer em R^2. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
e aplicando T temos
T(u+v) = l(0,;2(x1+x2),;3(y1+y2)r) = (0,,2x1+2x2,,3y1+3y2)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (0,2x1,3y1) + (0,2x2,3y2) = (0,,2x1+2x2,,3y1+3y2)
Logo
T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Para checar a preservação da multiplicação escalar, seja alphainR e u=(x,y)inR^2. Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y)
e
T(alpha u) = l(0,;2(alpha x),;3(alpha y)r) = (0,,alpha(2x),,alpha(3y)) = alpha,(0,2x,3y) = alpha,T(u)

Passo 4

Como T preserva soma e multiplicação por escalar, atende aos dois requisitos da definição de transformação linear.

Resposta

A transformação T(x,y)=(0,2x,3y) é linear.

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