Verifique se as seguintes transformações
são lineares.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear. O conteúdo aqui é transformação linear, e vamos usar a definição:
é linear se e somente se para todos
e todo escalar
valem
-
-
.
Passo 2
Para checar a preservação da soma, sejam
e
vetores quaisquer em
. Então
e aplicando
temos
Por outro lado,
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Passo 3
Para checar a preservação da multiplicação escalar, seja
e
. Então
e
Passo 4
Como
preserva soma e multiplicação por escalar, atende aos dois requisitos da definição de transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.