Determine as coordenadas polares, r e \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, dos pontos P (dados em coordenadas cartesianas) abaixo:
c) (1,-\sqrt{3}));

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar as coordenadas polares (r,\theta) do ponto dado em coordenadas cartesianas (1,-\sqrt{3}), com 0 \le \theta \le 2\pi. O conteúdo aqui é conversão de coordenadas cartesianas para polares, usando as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2},
\theta = \operatorname{atan2}(y, x)
ajustando \theta ao intervalo desejado.

Passo 2

Calculamos o módulo r do vetor posição (x,y)=(1,-\sqrt{3}).
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + \bigl(-\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.

Passo 3

Para obter o ângulo de referência \alpha satisfazendo \tan(\alpha)=\bigl|\tfrac{y}{x}\bigr|, temos
\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}
logo \alpha = \frac{\pi}{3}.

Passo 4

Determinamos em qual quadrante está o ponto: como x=1>0 e y=-\sqrt{3}<0, o ponto pertence ao quadrante IV. Nesse caso, o ângulo polar \theta é
\theta = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.

Resposta

r = 2,\quad \theta = \frac{5\pi}{3}.

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