Determine as coordenadas polares, r e \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, dos pontos P (dados em coordenadas cartesianas) abaixo:
d) (3,3);

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas para coordenadas polares, isto é, achar r
e \theta
tal que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com 0 \le \theta \le 2\pi. Vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
ajustando \theta conforme o quadrante.

Passo 2

Para P=(3,3), calculemos
r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Passo 3

Como x=3>0 e y=3>0, o ponto está no primeiro quadrante. Logo
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{3}{3}\bigr) = \arctan(1) = \tfrac{\pi}{4}.
Esse valor já está em [0,2\pi].

Resposta

(r,\theta) = \bigl(3\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4}\bigr).

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