Determine as coordenadas polares, r e \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, dos pontos P (dados em coordenadas cartesianas) abaixo:
e) (-\sqrt{2},-\sqrt{2}) ;

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas para coordenadas polares (r,\theta), com 0 \le \theta \le 2\pi.
Para isso, vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2},
\theta = \begin{cases} \arctan\bigl(\frac{y}{x}\bigr), & \text{ajustando o quadrante de acordo com os sinais de }x\text{ e }y. \end{cases}

Passo 2

Calcular a distância ao origem:
r = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2.

Passo 3

Encontrar o ângulo de referência \alpha no primeiro quadrante, usando valores absolutos:
\alpha = \arctan\!\bigl(\frac{|\,-\sqrt{2}\,|}{|\,-\sqrt{2}\,|}\bigr) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Como x<0 e y<0, o ponto está no terceiro quadrante. O ângulo polar \theta é dado por
\theta = \pi + \alpha = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.

Resposta

(r,\theta) = \bigl(2,\tfrac{5\pi}{4}\bigr).

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