Determine as coordenadas polares, r e \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, dos pontos P (dados em coordenadas cartesianas) abaixo:
f) \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right));

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas para coordenadas polares. O conteúdo aqui é coordenadas polares, em que r = \sqrt{x^2 + y^2}
e \theta satisfaz
\theta = \arctan\!\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr)
com ajuste de quadrante para que 0 \le \theta \le 2\pi. Neste caso, o ponto é \bigl(x,y\bigr)=\bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

Passo 2

Calcular o raio r:
r = \sqrt{\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac34} = \sqrt{1} = 1.

Passo 3

Determinar o ângulo \theta. Primeiro, o ângulo de referência (ou ângulo no triângulo retângulo) é
\alpha = \arctan\!\Bigl(\frac{|y|}{|x|}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt3/2}{1/2}\Bigr) = \arctan(\sqrt3) = \frac{\pi}{3}.
Como x<0 e y>0, o ponto está no quadrante II, então
\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Resposta

As coordenadas polares de P são
\bigl(r,\theta\bigr) = \Bigl(1,\;\tfrac{2\pi}{3}\Bigr).

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