Determine as coordenadas polares, r e \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, dos pontos P (dados em coordenadas cartesianas) abaixo:
g) (\sqrt{2},-1)

Passo 1

Temos o ponto P em coordenadas cartesianas dado por
P = (\sqrt{2}, -1).
O conteúdo é conversão de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,\theta), usando
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \theta = \mathrm{atan2}(y,x),
com 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 2

Calculamos o raio r aplicando a fórmula
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}.

Passo 3

Para achar o ângulo \theta, primeiro consideramos o valor absoluto da tangente
\alpha = \arctan\bigl(\lvert y/x\rvert\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
Esse \alpha é o ângulo de referência no primeiro quadrante cujo valor é aproximadamente 0{,}6155 rad.

Passo 4

Como x=\sqrt{2}>0 e y=-1<0, o ponto está no quarto quadrante. A medida de \theta em [0,2\pi] fica
\theta = 2\pi - \alpha = 2\pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

Resposta

r = \sqrt{3}, \qquad \theta = 2\pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

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