Determine a equação em coordenadas polares das curvas (dadas em coordenadas cartesianas) abaixo e determine as variações de
e
:
b) $x^{2}-2 x+y^{2}=1);
b) $x^{2}-2 x+y^{2}=1);
Passo 1
O enunciado pede para converter a curva dada em coordenadas cartesianas
para coordenadas polares, isto é, usar
e obter uma expressão
válida. Também devemos indicar para quais valores de
e
essa representação cobre toda a curva.
Passo 2
Substituindo
e
em
, temos
ou seja
Como
, isso se simplifica para
Passo 3
Trata-se de uma equação quadrática em
:
Resolvendo em
pela fórmula de Bhaskara,
Passo 4
Devemos escolher o sinal que torne
. Note que
Logo a opção
é sempre negativa, enquanto
é sempre positiva. Portanto, a expressão válida é
Passo 5
Como a fórmula acima fornece
para todo
, podemos deixar
Para essa família de valores de
,
varia entre seu valor mínimo e máximo, que ocorrem em
e
:
Resposta
A equação em coordenadas polares é
com
e