Determine a equação em coordenadas polares das curvas (dadas em coordenadas cartesianas) abaixo e determine as variações de r e \theta :
b) $x^{2}-2 x+y^{2}=1);

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva dada em coordenadas cartesianas
x^{2}-2x+y^{2}=1
para coordenadas polares, isto é, usar
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
e obter uma expressão r(\theta) válida. Também devemos indicar para quais valores de r e \theta essa representação cobre toda a curva.

Passo 2

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em x^{2}-2x+y^{2}=1, temos
(r\cos\theta)^{2}-2\,(r\cos\theta)+(r\sin\theta)^{2}=1
ou seja
r^{2}\cos^{2}\theta - 2r\cos\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = 1.
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, isso se simplifica para
r^{2} - 2r\cos\theta = 1.

Passo 3

Trata-se de uma equação quadrática em r:
r^{2} - 2(\cos\theta)\,r - 1 = 0.
Resolvendo em r pela fórmula de Bhaskara,
r = \frac{2\cos\theta \pm \sqrt{(2\cos\theta)^{2} + 4}}{2} = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^{2}\theta + 1}.

Passo 4

Devemos escolher o sinal que torne r\ge0. Note que
\cos^{2}\theta +1 > \cos^{2}\theta \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\cos^{2}\theta +1} > |\cos\theta|.
Logo a opção
r = \cos\theta - \sqrt{\cos^{2}\theta +1}
é sempre negativa, enquanto
r(\theta) = \cos\theta + \sqrt{\cos^{2}\theta +1}
é sempre positiva. Portanto, a expressão válida é
r(\theta) = \cos\theta + \sqrt{\cos^{2}\theta +1}.

Passo 5

Como a fórmula acima fornece r>0 para todo \theta, podemos deixar
0 \le \theta < 2\pi.
Para essa família de valores de \theta, r varia entre seu valor mínimo e máximo, que ocorrem em \cos\theta=-1 e \cos\theta=1:
r_{\min} = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2}-1, \qquad r_{\max} = 1 + \sqrt{2}.

Resposta

A equação em coordenadas polares é
r = \cos\theta + \sqrt{\cos^{2}\theta +1},
com
0 \le \theta < 2\pi,
e
\sqrt{2}-1 \le r \le \sqrt{2}+1.

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