Determine a equação em coordenadas polares das curvas (dadas em coordenadas cartesianas) abaixo e determine as variações de r e \theta :
c) x^{2}+(y+1)^{2}=3;

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^{2}+(y+1)^{2}=3
queremos a sua equação em coordenadas polares, onde
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta.
O conteúdo é transformação de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Substituímos x e y em termos de r e \theta:
(r\cos\theta)^{2}+\bigl(r\sin\theta+1\bigr)^{2}=3.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em r:
r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta + 2r\sin\theta +1 = 3
como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, isto fica
r^{2} +2r\sin\theta -2 = 0.

Passo 4

Trata-se de uma equação quadrática em r. As raízes são
r = \frac{-2\sin\theta \pm \sqrt{(2\sin\theta)^{2}+8}}{2} =\;-\sin\theta \pm \sqrt{\sin^{2}\theta+2}.

Passo 5

Para descrever a circunferência em polares tomamos a única raiz não negativa,
r(\theta)=-\sin\theta + \sqrt{\sin^{2}\theta+2},
e \theta percorre um giro completo, isto é
0 \le \theta < 2\pi,
pois para cada \theta essa expressão dá o ponto de interseção do raio com a circunferência.

Resposta

\boxed{r = -\sin\theta + \sqrt{\sin^{2}\theta+2},\quad 0 \le \theta < 2\pi.}

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