O exercício pede as coordenadas do polinômio nas bases (canônica), e de , e também as matrizes de mudança de base de para e de para como combinação linear dos vetores da base, igualando coeficientes.
Passo 2
Para a base canônica , basta usar diretamente os coeficientes de . Assim as coordenadas em são
As coordenadas de na base vêm de resolver
Passo 3
Igualando coeficientes:
Da última equação x4=2. Voltando: x3=1-2=-1, depois x2=0-(-1)-2=-1 e x1=10-(-1)-(-1)-2=10.
Passo 4
Para a base C=4+t,,2,,2-t^2,,t+t^3, fazemos o mesmo:
y1(4+t)+y2,2+y3(2-t^2)+y4(t+t^3)=10+0t+1t^2+2t^3
Passo 5
Igualando coeficientes:
4y1+2y2+2y3 = 10 y1 + y4 = 0 -y3 = 1 y4 = 2
Daí y4=2, y3=-1, y1=-2 e 2y2 =10+8+2Rightarrow y2=10.
Passo 6
Para achar a matriz de mudança de base de B para C (denotada PC B), expressamos cada vetor de B em coordenadas de C. Por exemplo,
1 = a1(4+t)+a2,2+a3(2-t^2)+a4(t+t^3),
e assim por diante para 1+t, 1+t+t^2 e 1+t+t^2+t^3. Resolvendo obtemos as colunas de
$$P_{C\leftarrow B} =