Determine as coordenadas do polinômio p(t)=10+t^2+2 t^3 em relação às seguintes bases de P3(R) e encontre as matrizes de mudança de B para C e de C para B.
(a) E= base canônica.
(b) .
© .

Passo 1

O exercício pede as coordenadas do polinômio p(t)=10+t^2+2t^3 nas bases E (canônica), B e C de P3( R), e também as matrizes de mudança de base de B para C e de C para como combinação linear dos vetores da base, igualando coeficientes.

Passo 2

Para a base canônica E=1,,t,,t^2,,t^3, basta usar diretamente os coeficientes de p(t)=10+0,t+1,t^2+2,t^3. Assim as coordenadas em E são
As coordenadas de p na base B=1,,1+t,,1+t+t^2,,1+t+t^2+t^3 vêm de resolver
x1cdot1 + x2(1+t) + x3(1+t+t^2) + x4(1+t+t^2+t^3) = 10 + 0t + 1t^2 + 2t^3

Passo 3

Igualando coeficientes:
x1+x2+x3+x4 = 10 x2+x3+x4 = 0 x3+x4 = 1 x4 = 2
Da última equação x4=2. Voltando: x3=1-2=-1, depois x2=0-(-1)-2=-1 e x1=10-(-1)-(-1)-2=10.

Passo 4

Para a base C=4+t,,2,,2-t^2,,t+t^3, fazemos o mesmo:
y1(4+t)+y2,2+y3(2-t^2)+y4(t+t^3)=10+0t+1t^2+2t^3

Passo 5

Igualando coeficientes:
4y1+2y2+2y3 = 10 y1 + y4 = 0 -y3 = 1 y4 = 2
Daí y4=2, y3=-1, y1=-2 e 2y2 =10+8+2Rightarrow y2=10.

Passo 6

Para achar a matriz de mudança de base de B para C (denotada PC B), expressamos cada vetor de B em coordenadas de C. Por exemplo,
1 = a1(4+t)+a2,2+a3(2-t^2)+a4(t+t^3),
e assim por diante para 1+t, 1+t+t^2 e 1+t+t^2+t^3. Resolvendo obtemos as colunas de
$$P_{C\leftarrow B} =
PC B = 0 & 1 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac12 & tfrac32 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 1
$$

Passo 7

De modo análogo, para PB C expressamos cada vetor de C em B e montamos
PB C = 3 & 2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 .

Resposta

Coordenadas de p(t)=10+t^2+2t^3:
Na base canônica E:
[p]E = 10012
Na base B:
[p]B = 10-1-12
Na base C:
[p]C = -210-12
Matriz de mudança de base de B para C (aplica-se [v]C = PC B,[v]B):
PC B = 0 & 1 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac32 & -tfrac12 & tfrac32 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 1
Matriz de mudança de base de C para B (aplica-se [v]B = PB C,[v]C):
PB C = 3 & 2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 1

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