Exercício 23:
Por indução completa em n mostre que:
sumk=1^n 1k(k+1)=nn+1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução completa em n, que a soma sumk=1^n 1k(k+1) é igual a nn+1. O conteúdo principal é o princípio de indução matemática e manipulação de frações, e vamos precisar entender como estruturar uma prova por indução (caso base, hipótese indutiva e passo indutivo).

Passo 2

Vamos começar verificando o caso base n=1. Substituindo na soma, temos
sumk=1^1 1k(k+1) = 11cdot 2 = 12,
e a fórmula prevê
nn+1 = 11+1 = 12
Como os dois resultados coincidem, o caso base está OK.

Passo 3

Agora é hora da hipótese de indução. Suponha que para algum n>=1 valha
sumk=1^n 1k(k+1) = nn+1

Passo 4

Queremos mostrar que então vale também para n+1. Escrevemos a soma até n+1 separando o último termo:
sumk=1^n+1 1k(k+1) = sumk=1^n 1k(k+1) + 1(n+1)(n+2)

Passo 5

Pela hipótese de indução, substituímos a parte até n:
nn+1 + 1(n+1)(n+2)
Colocamos no mesmo denominador, que é (n+1)(n+2):
$$\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}
= \frac{n(n+2) + 1}{(n+1)(n+2)}
= \frac{n^2 + 2n + 1}{(n+1)(n+2)}
= \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}
= \frac{n+1}{n+2}.$$

Passo 6

Isso mostra que se a fórmula vale para n, então vale para n+1. Como o caso base n=1 está certo e o passo indutivo também, concluímos que a igualdade vale para todo ninN.

Resposta

sumk=1^n 1k(k+1) = nn+1

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