Exercício 23:
Por indução completa em
mostre que:
.
Por indução completa em
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução completa em
, que a soma
é igual a
. O conteúdo principal é o princípio de indução matemática e manipulação de frações, e vamos precisar entender como estruturar uma prova por indução (caso base, hipótese indutiva e passo indutivo).
Passo 2
Vamos começar verificando o caso base
. Substituindo na soma, temos
e a fórmula prevê
Como os dois resultados coincidem, o caso base está OK.
Passo 3
Agora é hora da hipótese de indução. Suponha que para algum
valha
Passo 4
Queremos mostrar que então vale também para
. Escrevemos a soma até
separando o último termo:
Passo 5
Pela hipótese de indução, substituímos a parte até
:
Colocamos no mesmo denominador, que é
$$\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}
= \frac{n(n+2) + 1}{(n+1)(n+2)}
= \frac{n^2 + 2n + 1}{(n+1)(n+2)}
= \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}
= \frac{n^2 + 2n + 1}{(n+1)(n+2)}
= \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}
= \frac{n+1}{n+2}.$$
Passo 6
Isso mostra que se a fórmula vale para
, então vale para
. Como o caso base
está certo e o passo indutivo também, concluímos que a igualdade vale para todo
.