(a) Determine as coordenadas do vetor u=(2,1,4) do R^3 em relação às bases B= base canônica e C=(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1).
(b) Encontre as matrizes de mudança de B para C e de C para B.

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor u=(2,1,4) nas bases canônica B e na base C=l(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1)r, e em seguida encontrar as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B. Vamos usar conceitos de coordenadas em bases e definição de matriz de mudança de base.

Passo 2

Como a base canônica B=e1,e2,e3 é justamente os vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1), as coordenadas de u em relação a B são imediatamente
[u]B=(2,1,4)

Passo 3

Para achar as coordenadas de u na base C, escrevemos
alpha(1,1,1)+beta(1,0,1)+gamma(1,0,-1)=(2,1,4)
e montamos o sistema:
alpha+beta+gamma=2 alpha=1 alpha+beta-gamma=4

Passo 4

Da segunda equação vem alpha=1. Substituindo nas outras,
1+beta+gamma=2impliesbeta+gamma=1,
1+beta-gamma=4impliesbeta-gamma=3
Somando dá 2beta=4impliesbeta=2 e então gamma=-1.

Passo 5

Logo as coordenadas de u na base C são
[u]C=(1,2,-1)

Passo 6

A matriz de mudança de base de B para C, denotada PC B, satisfaz
([
[v]C=P{C\leftarrow B},[v]_B
]). Suas colunas são as coordenadas de e1,e2,e3 (os vetores de B) em relação a C. Resolvendo para cada um, achamos:
[e1]C=(0,tfrac12,tfrac12), [e2]C=(1,-1,0), [e3]C=(0,tfrac12,-tfrac12)

Passo 7

Portanto
PC B= 0 & 1 & 0 tfrac12 & -1 & tfrac12 tfrac12 & 0 & -tfrac12

Passo 8

A matriz de mudança de base de C para B, PB C, é o inverso de PC B ou simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores de C nas coordenadas canônicas. Assim:
PB C= 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1

Resposta

As coordenadas de u=(2,1,4) são
[u]B=(2,1,4) e [u]C=(1,2,-1).
A matriz de mudança de base de B para C é
PC B= 0 & 1 & 0 tfrac12 & -1 & tfrac12 tfrac12 & 0 & -tfrac12 ,
e de C para B é
PB C= 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1

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