(a) Determine as coordenadas do vetor do em relação às bases base canônica e .
(b) Encontre as matrizes de mudança de para e de para .
Passo 1
O enunciado pede para expressar o vetor nas bases canônica e na base , e em seguida encontrar as matrizes de mudança de base de para e de para . Vamos usar conceitos de coordenadas em bases e definição de matriz de mudança de base.
Passo 2
Como a base canônica é justamente os vetores , , , as coordenadas de em relação a são imediatamente
Passo 3
Para achar as coordenadas de na base , escrevemos
e montamos o sistema:
Passo 4
Da segunda equação vem alpha=1. Substituindo nas outras,
1+beta+gamma=2impliesbeta+gamma=1,
1+beta-gamma=4impliesbeta-gamma=3
Somando dá 2beta=4impliesbeta=2 e então gamma=-1.
Passo 5
Logo as coordenadas de u na base C são
[u]C=(1,2,-1)
Passo 6
A matriz de mudança de base de B para C, denotada PC B, satisfaz
([
[v]C=P{C\leftarrow B},[v]_B
]). Suas colunas são as coordenadas de e1,e2,e3 (os vetores de B) em relação a C. Resolvendo para cada um, achamos:
A matriz de mudança de base de C para B, PB C, é o inverso de PC B ou simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores de C nas coordenadas canônicas. Assim:
PB C= 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1
Resposta
As coordenadas de u=(2,1,4) são [u]B=(2,1,4) e [u]C=(1,2,-1).