Questão 6:
Determine sob que condições a matriz A dada abaixo não tem inversa, onde x é uma constante real.
[
A=\left( cccc 1 & 0 & 2 & 0 0 & x & 2 & 0 1 & 0 & x & 0 -3 & 0 & 0 & 1 \right)

Passo 1

A questão pede para encontrar para quais valores da constante real x a matriz A não é invertível. O conteúdo aqui é determinante de matrizes 4×4 e a relação entre determinante e inversibilidade. Vamos precisar usar que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Sabemos que A é não invertível exatamente quando det(A)=0. Para calcular det(A), observe a coluna 4, que só tem o elemento 1 na posição (4,4). Fazendo o desenvolvimento dessa coluna, obtemos: det(A)=1cdotdet(M) onde M é a submatriz 3×3 obtida ao remover a 4ª linha e a 4ª coluna de A.
A submatriz M é
M=1 & 0 & 20 & x & 21 & 0 & x

Passo 3

Calculamos det(M) por desenvolvimento na primeira linha:
det(M)=1cdotx & 20 & x-0cdotdots+2cdot0 & x1 & 0=1cdot(x^2-0)+2cdot(0-x)=x^2-2x

Passo 4

Portanto, det(A)=det(M)=x^2-2x=x(x-2). A condição det(A)=0 leva a x=0 ou x=2, que são os valores em que A não tem inversa.

Resposta

A matriz A não tem inversa quando x=0 ou x=2.

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