Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas
r:l x=3 t+1 y=-2 t+5 t in R e s:l x=2 u-2 y=7+u u in R

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar o ponto de interseção de duas retas dadas em forma paramétrica:
r: x=3t+1,;y=-2t+5 e s: x=2u-2,;y=7+u. O conteúdo envolvido é interseção de retas no plano usando equações paramétricas, e vamos precisar igualar as coordenadas x e y e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Primeiro igualamos as componentes x e y das retas para achar t e u. Isso gera o sistema
[ 3t+1=2u-2-2t+5=7+u]
que podemos reescrever como
[ 3t-2u=-3-2t -u=2]

Passo 3

Da segunda equação reescrevemos para isolar u. Observando
[ -2t -u = 2 ],
multiplicando por -1 fica
[ 2t + u = -2 ],
portanto
[ u = -2 - 2t ].

Passo 4

Substituímos u = -2 - 2t na primeira equação 3t-2u=-3:
[3t - 2(-2 - 2t) = -3],
que se simplifica a
[3t + 4 + 4t = -3 \implies 7t = -7 \implies t = -1].

Passo 5

Com t=-1, voltamos em u = -2 - 2t e obtemos
[ u = -2 - 2(-1) = 0 ].

Passo 6

Por fim, substituímos t=-1 em r para achar o ponto:
[ x = 3(-1) + 1 = -2 ],
[ y = -2(-1) + 5 = 7 ].
Logo as coordenadas da interseção são (-2,7).

Resposta

As coordenadas do ponto de interseção são (-2,7).

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