Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar o ponto de interseção de duas retas dadas em forma paramétrica:
r: e s:
. O conteúdo envolvido é interseção de retas no plano usando equações paramétricas, e vamos precisar igualar as coordenadas
e
e resolver o sistema resultante.
r:
Passo 2
Primeiro igualamos as componentes
e
das retas para achar
e
. Isso gera o sistema
[ ]
que podemos reescrever como
[ ]
[
que podemos reescrever como
[
Passo 3
Da segunda equação reescrevemos para isolar
. Observando
[ -2t -u = 2 ],
multiplicando por fica
[ 2t + u = -2 ],
portanto
[ u = -2 - 2t ].
[ -2t -u = 2 ],
multiplicando por
[ 2t + u = -2 ],
portanto
[ u = -2 - 2t ].
Passo 4
Substituímos
na primeira equação
:
[3t - 2(-2 - 2t) = -3],
que se simplifica a
[3t + 4 + 4t = -3 \implies 7t = -7 \implies t = -1].
[3t - 2(-2 - 2t) = -3],
que se simplifica a
[3t + 4 + 4t = -3 \implies 7t = -7 \implies t = -1].
Passo 5
Com
, voltamos em
e obtemos
[ u = -2 - 2(-1) = 0 ].
[ u = -2 - 2(-1) = 0 ].
Passo 6
Por fim, substituímos
em
para achar o ponto:
[ x = 3(-1) + 1 = -2 ],
[ y = -2(-1) + 5 = 7 ].
Logo as coordenadas da interseção são .
[ x = 3(-1) + 1 = -2 ],
[ y = -2(-1) + 5 = 7 ].
Logo as coordenadas da interseção são
Resposta
As coordenadas do ponto de interseção são
.