Qual é a posição relativa das retas:
r: x23+y-2=1 e s:l x=t-1 y=3 t-2 ?

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano:
r está na forma
xtfrac23+y-2=1
e s está em forma paramétrica
x = t - 1, y = 3t - 2
O conteúdo é geometria analítica de retas: vamos obter a forma reduzida (inclinação e coeficiente linear) ou o vetor diretor de cada reta e comparar para decidir se são paralelas, coincidentes ou concorrentes.

Passo 2

Transformamos a equação de r. Temos
xtfrac23+y-2=1 ;Longrightarrow; 32x - 12,y = 1
Multiplicando por 2,
3x - y = 2
e isolando y,
y = 3x - 2
Dessa forma a inclinação (coeficiente angular) de r é mr=3 e um ponto que satisfaz r é, por exemplo, (0,-2). O vetor diretor de r pode ser
vec dr = (1,,3),
pois varrendo uma unidade em x sobe-se 3 em y.

Passo 3

Na reta s já temos a forma paramétrica
(x,y) = (-1,,-2) + t,(1,,3)
Logo o vetor diretor de s é
vec ds = (1,,3),
e um ponto de s é (-1,-2). Se quisermos a forma reduzida, note que x = t-1Rightarrow t = x+1 e
y = 3t - 2 = 3(x+1) - 2 = 3x + 1,
logo y = 3x + 1, com inclinação ms=3.

Passo 4

Comparando as inclinações,
mr = 3 e ms = 3,
vemos que as retas são paralelas ou coincidentes. Para verificar se coincidem, basta ver se um ponto de s satisfaz a equação de r. Tomando (-1,-2) em 3x - y = 2
3(-1) - (-2) = -3 + 2 = -1 neq 2,
logo esse ponto não pertence a r. As retas não coincidem.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas.

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