Determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence ao eixo das abscissas e é equidistante aos pontos A(2,3) e B(-2,0).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto $ P $, sabendo que ele está no eixo das abscissas (ou seja, no eixo $ x $) e que está igualmente distante dos pontos $ A(2, 3) $ e $ B(-2, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula de distância entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, como o ponto $ P $ está no eixo das abscissas, isso significa que a coordenada $ y $ dele é zero. Então, podemos escrever $ P $ como $ P(x, 0) $, onde $ x $ é a coordenada que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Essa fórmula nos dá a distância $ d $ entre os pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $.
Passo 4
Como o ponto $ P $ está igualmente distante de $ A(2, 3) $ e $ B(-2, 0) $, podemos igualar as distâncias $ PA $ e $ PB $:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos cancelar o $ x^2 $ de ambos os lados e resolver para $ x $:
Resposta
O ponto $ P $ tem as coordenadas $ \left( \frac{9}{8},\ 0 \right) $.