Determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence ao eixo das abscissas e é equidistante aos pontos A(2,3) e B(-2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto $ P $, sabendo que ele está no eixo das abscissas (ou seja, no eixo $ x $) e que está igualmente distante dos pontos $ A(2, 3) $ e $ B(-2, 0) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula de distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, como o ponto $ P $ está no eixo das abscissas, isso significa que a coordenada $ y $ dele é zero. Então, podemos escrever $ P $ como $ P(x, 0) $, onde $ x $ é a coordenada que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da distância entre dois pontos no plano:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Essa fórmula nos dá a distância $ d $ entre os pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $.

Passo 4

Como o ponto $ P $ está igualmente distante de $ A(2, 3) $ e $ B(-2, 0) $, podemos igualar as distâncias $ PA $ e $ PB $:
P

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x - 2)^2 + (-3)^2 = (x + 2)^2 + 0
(x - 2)^2 + 9 = (x + 2)^2

Passo 6

Expandindo os quadrados:
x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 + 4x + 4
Simplificando:
x^2 - 4x + 13 = x^2 + 4x + 4

Passo 7

Agora, vamos cancelar o $ x^2 $ de ambos os lados e resolver para $ x $:
x^2
x
-4x + 13 = 4x + 4
13 - 4 = 4x + 4x

Resposta

O ponto $ P $ tem as coordenadas $ \left( \frac{9}{8},\ 0 \right) $.

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