Determine as coordenadas do ponto Q simétrico de P(-1,6) em relação à reta 3 x-4 y+2=0.

Passo 1

O enunciado pede o ponto Q simétrico de P(-1,6) em relação à reta
3x - 4y + 2 = 0
O conteúdo da matéria é simetria de ponto em relação a reta, e para resolver precisamos primeiro encontrar o pé da perpendicular de P na reta e depois usar essa projeção para obter Q.

Passo 2

Na reta 3x - 4y + 2 = 0 temos a=3, b=-4, c=2 e o ponto P(x0,y0)=(-1,6). Calculamos
d = a x0 + b y0 + c = 3cdot(-1) + (-4)cdot6 + 2 = -3 - 24 + 2 = -25

Passo 3

O pé da perpendicular H(xh,yh) é dado por
xh = x0 - a,da^2+b^2, yh = y0 - b,da^2+b^2,
com a^2+b^2 = 9 + 16 = 25. Logo,
xh = -1 - 3cdot(-25)25 = -1 + 3 = 2, yh = 6 - (-4)cdot(-25)25 = 6 - 4 = 2

Passo 4

Para obter Q refletido, usamos
xQ = 2xh - x0, yQ = 2yh - y0
Logo,
xQ = 2cdot2 - (-1) = 5, yQ = 2cdot2 - 6 = -2

Resposta

As coordenadas de Q são (5,-2).

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