p cdot q=2 a1 a2+a1 b2+a2 b1+2 b1 b2, onde p(t)=a1 t+b1 e q(t)=a2 t+b2. Nesses termos, o ângulo entre
p(t)=-1+t e q(t)=3 t é?
a) pi

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço dos polinômios de grau <=1, P1, em que cada polinômio é escrito como
p(t)=a1t+b1, q(t)=a2t+b2,
e o produto interno é dado por
pcdot q = 2a1a2 + a1b2 + a2b1 + 2b1b2
Queremos o ângulo entre p(t)=-1+t e q(t)=3t.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a1=1,; b1=-1, a2=3,; b2=0

Passo 3

Calculamos o produto interno
pcdot q = 2cdot1cdot3 + 1cdot0 + 3cdot(-1) + 2cdot(-1)cdot0 = 6 - 3 = 3

Passo 4

Calculamos as normas:
|p|^2 = pcdot p = 2cdot1^2 + 2cdot1cdot(-1) + 2cdot(-1)^2 = 2 - 2 + 2 = 2,
|q|^2 = qcdot q = 2cdot3^2 + 3cdot0 + 3cdot0 + 2cdot0^2 = 18
Logo |p|=raiz2 e |q|=raiz18=3raiz2.

Passo 5

O cosseno do ângulo theta é
costheta = pcdot q|p|;|q| = 3raiz2cdot3raiz2 = 36 = tfrac12,
portanto
theta = arccos!l(tfrac12r) = pi3

Resposta

theta = dfracpi3.

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