A dimensão e o núcleo da transformação linear dada por T(x, y, z)=(x-y+4 z, 3 x+y+8 z) são? dim Ker(T)=1, pois Ker(T)=[(1,3,2)]

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon R^3to R^2 definida por
T(x,y,z) = (,x - y + 4z,;3x + y + 8z,)
Queremos encontrar o núcleo de T, isto é, o conjunto
ker(T) = (x,y,z)inR^3mid T(x,y,z) = (0,0),
e a dimensão desse núcleo (nullidade).

Passo 2

Escrevemos o sistema linear T(x,y,z)=(0,0). Isso gera duas equações:
x - y + 4z = 0, 3x + y + 8z = 0

Passo 3

Da primeira equação temos
x = y - 4z
Substituindo em 3x + y + 8z = 0 obtemos
3(y - 4z) + y + 8z = 0 Longrightarrow 3y - 12z + y + 8z = 0 Longrightarrow 4y - 4z = 0 Longrightarrow y = z

Passo 4

Como , a expressão de fica
Logo todo vetor no núcleo é da forma
Portanto

Passo 5

O núcleo é gerado por um único vetor livre, então a dimensão do núcleo é
dimker(T) = 1

Resposta

e .

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