Questão 16: Sejam v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2) e v3=(-2,-1,0)
d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por v1, v2 e v3.
Plano que passa pela origem e é paralelo aos vetores v1 e v2, isto é, plano dado por x-2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a descrição geométrica do subespaço spanv1,v2,v3subsetR^3. O conteúdo envolve combinação linear de vetores, verificação de dependência linear, determinação da dimensão do subespaço e obtenção da equação de um plano por meio de um vetor normal (produto vetorial).

Passo 2

Verificamos se
Dessa forma obtém-se , ou seja
. Concluímos que
e tem dimensão 2.

Passo 3

Como o subespaço tem dimensão 2, ele é um plano que passa pela origem. Para encontrar sua equação, determinamos um vetor normal via produto vetorial:
n=v1timesv2 =det i&j&k 4&2&-3 2&1&-2 =(-1,2,0)

Passo 4

A equação de um plano que passa pela origem com normal n=(nx,ny,nz) é
nx x + ny y + nz z = 0
Substituindo n=(-1,2,0), obtemos
-x+2y=0 Long<=ftrightarrow x-2y=0

Resposta

O subespaço spanv1,v2,v3 é o plano que passa pela origem em R^3 dado pela equação
x - 2y = 0

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