Determine as coordenadas de A^prime simétrico de A(4,0,3), em relação a reta s: x+12=y+1=z+24.

Passo 1

O enunciado pede o simétrico de A(4,0,3) em relação à reta
s:x+12=y+1=z+24
O conteúdo é reflexão de um ponto em uma reta no espaço. A ideia é encontrar o pé da perpendicular H de A sobre s e depois usar
A'=2H - A

Passo 2

Vamos escrever s em forma paramétrica. Seja t tal que
x+12=t, y+1=t, z+24=t
Dessa forma
x=-1+2t, y=-1+t, z=-2+4t
Um ponto em s é P0=(-1,-1,-2) e o vetor diretor é vec u=(2,1,4).

Passo 3

O pé H da perpendicular de A em s é a projeção de P0A sobre vec u, adicionada a P0. Primeiro computamos
P0A=(4-(-1),,0-(-1),,3-(-2))=(5,1,5)
O parâmetro da projeção é
t0=P0Acdotvec uvec ucdotvec u =5cdot2+1cdot1+5cdot42^2+1^2+4^2 =3121
Logo
H = P0 + t0,vec u = (-1,-1,-2) + 3121(2,1,4) = l(tfrac4121,,tfrac1021,,tfrac8221r)

Passo 4

O simétrico A' de A em relação à reta é
A' = 2H - A = 2l(tfrac4121,tfrac1021,tfrac8221r) - (4,0,3) = l(-tfrac221,,tfrac2021,,tfrac10121r)

Resposta

A' = l(-tfrac221,,tfrac2021,,tfrac10121r)

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