Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(-1,4,5) e que é perpendicular à reta r ; P=(-2,1,1)+m(1,-1,2).
l x=-1 y=4+2 m z=5+m

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa por A(-1,4,5) e é perpendicular à reta
r:;P(-2,1,1)+m,(1,-1,2)
O conteúdo principal aqui é encontrar o ponto de r mais próximo de A (pé da perpendicular) usando produto escalar e depois montar a reta que liga A a esse pé, já que esse segmento é perpendicular a r.

Passo 2

Anotamos o ponto genérico de r em função de m:
H(m)=(-2+m,;1-m,;1+2m)
O vetor diretor de r é
v=(1,-1,2)
Queremos AHperp v, isto é, (H(m)-A)cdotv=0.

Passo 3

Escrevemos H(m)-A:
H(m)-A = l(-2+m+1,;1-m-4,;1+2m-5r) = (m-1,,-m-3,;2m-4)
Fazemos o produto escalar com v:
(m-1)cdot1 +(-m-3)cdot(-1) + (2m-4)cdot2 = 0

Passo 4

Calculamos:
(m-1) + (m+3) + (4m-8) = 0 Longrightarrow 6m -6 = 0 Longrightarrow m=1
Substituindo em H(m), obtemos o pé:
H(1)=(-2+1,;1-1,;1+2)=(-1,0,3)

Passo 5

O vetor diretor da reta perpendicular é
AH = H(1)-A = l(-1+1,;0-4,;3-5r) = (0,-4,-2)
Podemos simplificar para (0,2,1) trocando o sinal e dividindo por 2 (sinal reverso não altera a reta).

Passo 6

Logo, as equações paramétricas da reta buscada, usando parâmetro t, são
x=-1, y=4+2t, z=5+t

Resposta

x=-1, y=4+2t, z=5+t

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