Determine uma matriz quadrada de ordem 3 cujo espaço nulo seja de:
dimensão 2 ;

Passo 1

O enunciado pede uma matriz quadrada A de ordem 3 cujo espa\c{c}o nulo (n’ucleo) tenha dimens~ao 2. Vamos usar conceitos de n’ucleo de uma transforma\c{c}~ao linear e o Teorema da N’ulocidade-Posto (rank-nullity).

Passo 2

O Teorema da N’ulocidade-Posto afirma que, para uma matriz Ain M3times3(R), vale
dim(ker A)+rank(A)=3
Como queremos dim(ker A)=2, segue que
rank(A)=3-2=1

Passo 3

Para construir uma matriz de posto 1, basta fazer todas as colunas proporcionais. Por exemplo, escolhemos
A = 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 3 & 0 & 0
Aqui todas as colunas são múltiplos da primeira coluna ,(1,2,3)^T, logo rank(A)=1.

Passo 4

Para ver o núcleo, resolvemos
Isso impõe enquanto e podem ser quaisquer valores livres. Portanto .

Resposta

A = 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 3 & 0 & 0 ,
cujo espaço nulo tem exatamente dimensão 2.

Exercícios relacionados