Determine uma matriz quadrada de ordem 3 cujo espaço nulo seja de:
dimensão 2 ;
Passo 1
O enunciado pede uma matriz quadrada de ordem cujo espa\c{c}o nulo (n’ucleo) tenha dimens~ao . Vamos usar conceitos de n’ucleo de uma transforma\c{c}~ao linear e o Teorema da N’ulocidade-Posto (rank-nullity).
Passo 2
O Teorema da N’ulocidade-Posto afirma que, para uma matriz , vale
Como queremos , segue que
Passo 3
Para construir uma matriz de posto , basta fazer todas as colunas proporcionais. Por exemplo, escolhemos
Aqui todas as colunas são múltiplos da primeira coluna ,(1,2,3)^T, logo rank(A)=1.
Passo 4
Para ver o núcleo, resolvemos
Isso impõe enquanto e podem ser quaisquer valores livres. Portanto .